Квантовая теория поля, теория струн и математическая физика образовательная программа ФОПФ МФТИ
Занятия проводятся по понедельникам, 17:00-18:30, онлайн.
Первое занятие 5 февраля.
Решения задач присылайте по адресу adler@itp.ac.ru (дедлайн – 2 недели).
Текущие материалы будут выкладываться здесь:
Лекция 1 (05.02) Введение. Уравнение Кортевега-де Фриза. Солитон и другие решения. Численный счёт (схема Забуски-Краскала). Взаимодействие солитонов
Видео
конспект
Лекция 2 (12.02) Законы сохранения для КдФ. Преобразование Миуры. Определения и терминология. Законы сохранения для эволюционных уравнений. Вычисление з.с. для КдФ. Однородные многочлены, метод неопределенных коэффициентов. Преобразование Миуры и модифицированное уравнение КдФ. Обращение преобразование Миуры \(\to\) рекуррентная формула для з.с.
Видео
конспект
программа (Wolfram Mathematica)
распечатка
Лекция 3 (19.02) Многосолитонное решение КдФ. Линеаризация преобразования Миуры. Вспомогательные линейные задачи. Функция Бейкера-Ахиезера. Полиномиальная редукция: потенциалы Баргманна и \(n\)-солитонные решения КдФ. Система ОДУ на коэффициенты многочлена. Сведение к линейной алгебре. Вронскианные формулы для потенциала и волновой функции.
Видео
конспект
программа WM
распечатка
Лекция 4 (26.02) Разбор решений. Представления Лакса и нулевой кривизны.
Матричные представления нулевой кривизны. Представления Лакса в дифференциальных операторах. Примеры
Видео
конспект
программа WM
распечатка
Лекция 5 (04.03) Высшие симметрии КдФ.
Симметрии эволюционных уравнений. Построение иерархии КдФ по однородности. Другие примеры. Коммутативность симметрий. Построение иерархии КдФ по представлению нулевой кривизны. Оператор рекурсии
Видео
конспект
программа WM
распечатка
Лекция 6 (11.03) Конечнозонные решения КдФ.
Стационарные уравнения для высших симметрий (уравнения Новикова). Общее решение в виде бегущей волны (кноидальная волна).
Эллиптические функции. Численное построение двухфазного решения. Произвольное \(n\): понижение порядка, уравнения Дубровина.
Интегрирование в квадратурах.
Видео
конспект
программа WM
распечатка
Лекция 7 (18.03) Одевающая цепочка.
Дискретные переменные. Преобразования Дарбу--Бэклунда. Одевающая цепочка для КдФ.
Перестановочность преобразований Бэклунда. Ещё один способ вывода \(n\)-солитонных решений.
Видео
конспект
Лекция 8 (25.03) Приложения одевающей цепочки.
Mетод факторизации. Условие форм-инвариантности. Пример: гармонический осциллятор. Квазипериодическое замыкание. Периодический случай: конечнозонные решения. Квазипериодический случай: решения типа Пенлеве, обобщения гармонического осциллятора.
Видео
конспект
программа WM
распечатка
Лекция 9 (01.04) Цепочка Вольтерры.
Непрерывный предел к КдФ. Численные эксперименты. Дискретное преобразование Миуры. Законы сохранения и симметрии. Преобразование Бэклунда для VL. VL как преобразование Бэклунда.
Видео
конспект
программа WM
распечатка
Лекция 10 (08.04) Метод обратной задачи рассеяния для КдФ. Прямая задача.
Спектр оператора Шрёдингера с быстроубывающим потенциалом. Сведение уравнения Шрёдингера к интегральному. Функции Йоста. Матрица перехода. Свойства матрицы перехода. Дискретный спектр. Данные рассеяния.
Видео
конспект
программа WM
распечатка
Лекция 11 (15.04) Метод обратной задачи рассеяния для КдФ. Обратная задача.
Определение зависимости данных рассеяния от \(t\). Определение \(a(k)\) и \(b(k)\) по коэффициенту отражения \(r(k)\).
Восстановление потенциала (метод сингулярных интегральных уравнений).
Видео
конспект
Лекция 12 (22.04) Уравнения Пенлеве.
Примеры групповых редукций к ОДУ второго порядка. КдФ и уравнение P\(_1\). КдФ и P\(_2\). Синус-Гордон и P\(_3\).
Классификация Пенлеве. Тест Пенлеве-Ковалевской. WTC-тест.
Видео(1)
Видео(2)
конспект
программа
распечатка
программа к ДЗ 7.3, 7.4
распечатка
Лекция 13 (29.04) Дополнительные симметрии КдФ.
Негативные симметрии. 3D-совместность негативных симметрий. Мастер-симметрия. Высшие неавтономные симметрии. Высшие аналоги уравнений Пенлеве.
Видео
конспект