Классические интегрируемые системы

В.Э. Адлер, весенний семестр 2022

Квантовая теория поля, теория струн и математическая физика
образовательная программа ФОПФ МФТИ

Занятия проводятся по понедельникам в 17:30
Первое занятие 7 февраля, онлайн.

Старые материалы можно посмотреть здесь и здесь.
Содержание в этом году будет немного другое.
Текущие материалы будут выкладываться ниже.
Решения задач можно присылать по адресу adler@itp.ac.ru (дедлайн – 2 недели).

Лекция 1 (07.02) Введение. Солитон КдФ. Разностная схема Забуски-Краскала. Многосолитонные решения численно.
Видео  конспект

Лекция 2 (14.02) Подготовительные сведения. Динамические системы, векторные поля, первые интегралы. Эволюционные дифференцирования, законы сохранения.
Видео  конспект

Лекция 3 (21.02) Представление нулевой кривизны для КдФ. Другие примеры. Представление Лакса. Преобразование Миуры. Его обращение и бесконечная серия законов сохранения.
Видео  конспект  программа.nb  программа.pdf

Лекция 4 (28.02) Потенциалы Баргманна. Обрыв ряда для функции Бейкера--Ахиезера. Вывод многосолитонного решения КдФ, вронскианная формула. Фазовый сдвиг.
Видео  конспект

Лекция 5 (07.03) Двумерная цепочка Тоды. Редукции к уравнениям sinh-Гордона, Цицейки и Лиувилля. Обрыв типа A_n.
Видео  конспект

Лекция 6 (14.03) Метод обратной задачи рассеяния для КдФ. Прямая задача.
Видео  конспект

Лекция 7 (21.03) Метод обратной задачи рассеяния для КдФ. Зависимость данных рассеяния от \(t\). Обратная задача.
Видео  конспект

Лекция 8 (28.03) Высшие симметрии КдФ. Оператор рекурсии.
Видео  конспект

Лекция 9 (04.04) Конечнозонные решения КдФ. Уравнения Новикова и Дубровина.
Видео  конспект  программа.nb  программа.pdf

Лекция 10 (11.04) Преобразования Дарбу-Бэклунда. Одевающая цепочка. Еще один способ вывода многосолитонных решений.
Видео  конспект

Лекция 11 (18.04) Приложения одевающей цепочки. Метод факторизации в квантовой механике. Квазипериодическое замыкание и обобщение гармонического осциллятора.
Видео  конспект

Лекция 12 (25.04) Уравнения Пенлеве. Редукции КдФ к P1 и P2. Тест Пенлеве.
Видео  конспект

Лекция 13 (02.05) Заключение.
Видео  конспект

Краткое содержание курса
Интегрируемые нелинейные уравнения – это уравнения с частными производными (или дифференциально-разностные, или чисто разностные), для которых удаётся найти метод решения задачи Коши или метод построения богатых семейств точных решений, типа многосолитонных. В свою очередь, эти методы опираются на интересные внутренние свойства уравнения, такие, как представления Лакса, законы сохранения, обобщённые симметрии, преобразования Бэклунда. В рамках курса мы познакомимся с этими понятиями на примере некоторых наиболее основных и простых моделей (уравнение КдФ, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Лиувилля, цепочка Вольтерра и др.). Конечно, это лишь незначительная часть того, что известно. Эта область науки возникла достаточно давно, в конце 60-x, но предмет ещё далеко не исчерпан, развитие продолжается. Постоянно находятся новые интегрируемые уравнения, развиваются методы построения решений, находятся новые приложения в других областях, таких как геометрия, гидродинамика, нелинейная оптика.