Лекции 2023

Занятия проводятся по понедельникам в 17:00
Первое занятие 6 февраля, онлайн.

Решения задач присылайте по адресу adler@itp.ac.ru (дедлайн – 2 недели).

Текущие материалы будут выкладываться здесь:

Лекция 1 (06.02) Введение. Солитон КдФ. Разностная схема Забуски-Краскала. Многосолитонные решения численно. Система шаров-ящиков
Видео конспект

Лекция 2 (13.02) Вспомогательные линейные уравнения. КдФ как условие их совместности. Представления нулевой кривизны. Некоторые другие примеры. Представление Лакса. Преобразование Миуры. Вывод законов сохранения для КдФ
Видео конспект

Лекция 3 (20.02) Функция Бейкера--Ахиезера. Потенциалы Баргманна. Система ОДУ на коэффициенты многочлена. Переход к корням, первые интегралы. Линеаризация системы. Вронскианные формулы для потенциала и волновой функции. Фазовый сдвиг
Видео конспект

Лекция 4 (27.02) Иерархия КдФ. Оператор рекурсии. Локальность высших уравнений КдФ. Симметрии эволюционных уравнений. Коммутативность иерархии КдФ
Видео конспект

Лекция 5 (06.03) Стационарные уравнения для высших симметрий (уравнения Новикова). Общее решение в виде бегущей волны (кноидальная волна). Эллиптические функции. Численное построение двухфазного решения. Произвольное $n$: понижение порядка, уравнения Дубровина. Интегрирование в квадратурах
Видео конспект

Лекция 6 (13.03) Метод обратной задачи рассеяния для КдФ. Прямая задача. Сведение уравнения Шрёдингера к интегральному. Функции Йоста. Матрица перехода, её свойства. Дискретный спектр. Данные рассеяния
Видео конспект

Лекция 7 (20.03) Метод обратной задачи рассеяния для КдФ. Обратная задача. Зависимость данных рассеяния от $t$. Определение $a(k)$ и $b(k)$ по коэффициенту отражения $r(k)$. Восстановление потенциала по данным рассеяния (сведение к сингулярным интегральным уравнениям)
Видео конспект

Лекция 8 (27.03) Преобразования Бэклунда. Дискретные переменные. Непрерывный предел. Одевающая цепочка для КдФ. Перестановочность преобразований Бэклунда. Ещё один способ вывода $n$-солитонных решений
Видео конспект

Лекция 9 (03.04) Приложения одевающей цепочки. Mетод факторизации. Условие форм-инвариантности. Квазипериодическое замыкание. Примеры: гармонический осциллятор, замыкание с периодом 3 и уравнение P-IV
Видео конспект

Лекция 10 (10.04) Некоторые вычисления на Mathematica. Построение графиков. Численное решение ОДУ. Символьные вычисления
Видео программа распечатка

Лекция 11 (17.04) Уравнения Пенлеве. Примеры групповых редукций к ОДУ второго порядка. КдФ и уравнения P$_1$, P$_2$. Синус-Гордон и P$_3$. Классификация Пенлеве. Тест Пенлеве--Ковалевской. WTC-тест
Видео конспект

Лекция 12 (24.04) Уравнение Бюргерса. Уравнение Лиувилля. 2D цепочка Тоды с закрепленными концами. Заключительные замечания
Видео конспект

Краткое содержание курса

Интегрируемые нелинейные уравнения — это уравнения с частными производными (или дифференциально-разностные, или чисто разностные), для которых удаётся найти метод решения задачи Коши или метод построения богатых семейств точных решений, типа многосолитонных. В свою очередь, эти методы опираются на интересные внутренние свойства уравнения, такие, как представления Лакса, законы сохранения, обобщённые симметрии, преобразования Бэклунда. В рамках курса мы познакомимся с этими понятиями на примере некоторых наиболее основных и простых моделей (уравнение КдФ, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Лиувилля, цепочка Вольтерры и др.). Конечно, это лишь незначительная часть того, что известно. Эта область науки возникла достаточно давно, в конце 60-x, но предмет ещё далеко не исчерпан, развитие продолжается. Постоянно находятся новые интегрируемые уравнения, развиваются методы построения решений, находятся новые приложения в других областях, таких как геометрия, гидродинамика, нелинейная оптика.

Оглавление предыдущего года (в этом году содержание может немного измениться):

Лекция 1 Введение. Солитон КдФ. Разностная схема Забуски–Краскала. Многосолитонные решения численно.

Лекция 2 Подготовительные сведения. Динамические системы, векторные поля, первые интегралы. Эволюционные дифференцирования, законы сохранения.

Лекция 3 Представление нулевой кривизны для КдФ. Другие примеры. Представление Лакса. Преобразование Миуры. Его обращение и бесконечная серия законов сохранения.

Лекция 4 Потенциалы Баргманна. Обрыв ряда для функции Бейкера–Ахиезера. Вывод многосолитонного решения КдФ, вронскианная формула. Фазовый сдвиг.

Лекция 5 Двумерная цепочка Тоды. Редукции к уравнениям sinh-Гордона, Цицейки и Лиувилля. Обрыв типа $A_1$.

Лекция 6 Метод обратной задачи рассеяния для КдФ. Прямая задача.

Лекция 7 Метод обратной задачи рассеяния для КдФ. Зависимость данных рассеяния от $t$. Обратная задача.

Лекция 8 Высшие симметрии КдФ. Оператор рекурсии.

Лекция 9 Конечнозонные решения КдФ. Уравнения Новикова и Дубровина.

Лекция 10 Преобразования Дарбу–Бэклунда. Одевающая цепочка. Еще один способ вывода многосолитонных решений.

Лекция 11 Приложения одевающей цепочки. Метод факторизации в квантовой механике. Квазипериодическое замыкание и обобщение гармонического осциллятора.

Лекция 12 Уравнения Пенлеве. Редукции КдФ к P₁ и P₂. Тест Пенлеве.

Классические интегрируемые системы